Triangle Calculator三角形计算器
示例
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已固定计算得出
  • 拖动顶点改变形状；角度每 15° 吸附一次（按住 Alt 可自由移动）
  • 方向键可移动选中的顶点
  • 点击数值即可输入：Enter 确认，Esc 取消，↑ ↓ 微调，Shift ×10
  • 左右拖动数值即可连续调整
  • 点击图钉即可固定数值
  • 拖动顶点改变形状；角度每 15° 吸附一次
  • 轻点数值即可输入，用 − 和 + 微调
  • 左右滑动数值即可连续调整
  • 轻点图钉即可固定数值
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常见问题

计算器的工作原理以及使用技巧。

现在是用哪种方法求解我的三角形？

边角边 (SAS). 您固定了边 b和c，以及它们之间的角 α（顶点 A）。先计算边 a。

只要您固定另一组数值，方法就会随之改变。

边边边（SSS）、边角边（SAS）等名称是什么意思？

名称按三角形周围的顺序列出三个已知数值：S 表示边，A 表示角。

  • 边边边（SSS）：已知三条边，用余弦定理求出每个角。
  • 边角边（SAS）：已知两边及其夹角，用余弦定理求出第三边。
  • 角边角（ASA）：已知两角及其夹边。第三个角等于 180° 减去另外两个角，再用正弦定理求出其余两边。
  • 角角边（AAS）：已知两角和一条不在两角之间的边，解法与 ASA 相同。
  • 边边角（SSA）：已知两边和一条边的对角。正弦定理给出第二个角，但可能没有、有一个或有两个三角形符合。
固定数值有什么作用？

三个数值确定一个三角形。固定的数值（蓝色填充）是您设定的数值，另外三个由它们计算得出。

当您输入或滑动某个数值时，它会被固定，最早固定的数值随之解除。轻点标签上的图钉会以同样方式固定其当前数值，而不改变三角形。提示信息会告诉您解除了哪个数值。

拖动顶点会直接改变所有数值。固定状态保持不变，下次输入数值时会再次生效。

为什么不能固定三个角？

三个角只能确定三角形的形状，不能确定大小：大三角形和小三角形可以有完全相同的角。而且三个角之和始终为 180°，第三个角不提供新信息。因此始终至少固定一条边。

为什么有时会有两个不同的三角形符合？

这发生在边边角（SSA）的情况下，也称为两解情况。正弦定理给出未知角的正弦值，而两个角的正弦值相同：θ 和 180° − θ。如果两者都能构成有效的三角形，它们都是解。

另一个解以虚线轮廓显示。轻点它，或使用数值面板中的"三角形 1 / 三角形 2"进行切换。试试"两个解"示例。

为什么会显示"无法构成三角形"？
  • 边太短：任意一边都必须小于另外两边之和（三角形不等式）。例如 2、3 和 6，两条短边无法相交。
  • 角太大：两个角之和已经达到或超过 180°，就没有空间留给第三个角。
  • 边边角中的边太短：已知角的对边可能太短，够不到另一条边的端点。

无效数值不会被采用，屏幕上保留最后一个有效的三角形。

顶点、边和角是如何命名的？

顶点为 A、B、C。每条边用对面顶点的小写字母命名：边 a 与 A 相对（位于 B 和 C 之间）。每个顶点处的角用希腊字母表示：A 处为 α，B 处为 β，C 处为 γ。因此边 a 与角 α 总是相对，这正是正弦定理的基础。

如何输入或修改数值？
  • 输入：轻点图形上的标签或数值面板中的输入框。Enter 确认，Esc 取消。
  • 表达式：支持 sqrt(2)、√3、3/4、2pi/3、2^0.5。
  • 滑动：左右拖动标签即可连续改变数值。角度以 0.5° 为步长，并在 15° 的倍数处停顿。
  • 微调：编辑时使用 − 和 + 按钮或方向键。按住 Shift 时步长扩大十倍。
拖动顶点时如何得到 90° 这样的精确角度？

开启"角度吸附"后，接近 15° 倍数（15°、30°、45°、60°、90° …）的角会自动吸附过去，并以橙色高亮显示。如果同时接近两个这样的角，顶点会跳到两者都精确的位置，例如 90° 和 45°。

按住 Alt（Mac 上为 Option）可自由移动，或关闭"角度吸附"。"吸附到网格"则把顶点放在网格点上，适合整数坐标。

计算器使用哪些公式？
余弦定理：a² = b² + c² − 2bc · cos α
正弦定理：a / sin α = b / sin β = c / sin γ
内角和：α + β + γ = 180°
面积：½ · b · c · sin α = √(s(s−a)(s−b)(s−c))，其中 s = (a+b+c)/2
高：hₐ = 2 · 面积 / a
中线：mₐ = ½ · √(2b² + 2c² − a²)
内切圆半径：r = 面积 / s
外接圆半径：R = a / (2 · sin α)

"计算过程"面板会用您的实际数字显示每一步。

如何判断三角形是否为直角三角形？

"形状"面板会标注"直角三角形"并指出斜边，即 90° 角所对的边。图形在该顶点处画一个小正方形代替圆弧。对于直角三角形，余弦定理变为勾股定理，因为 cos 90° = 0：当 α = 90° 时，a² = b² + c²。

"高""内切圆""外接圆"显示的是什么？
  • 高：从每个顶点到对边的垂线。在钝角三角形中，垂足落在外侧，因此对边会用点线延长。
  • 内切圆：三角形内最大的、与三条边都相切的圆，圆心 I 是三条角平分线的交点。
  • 外接圆：经过三个顶点的圆，圆心为 O。在直角三角形中，O 恰好位于斜边的中点。
结果有多精确？单位有什么作用？

所有计算都以完整精度进行；"小数位"设置（在数值上方的设置栏中）只影响显示时的四舍五入。长度单位只是一个标签：无论选哪个单位，数字都相同，不会进行换算。角度可以用度或弧度显示（π rad = 180°）。

"复制结果"应该选哪种格式？
  • 纯文本：带计算过程的可读摘要，适合笔记或消息。
  • Markdown 表格：适用于 Wiki、GitHub、Notion 或支持 Markdown 的聊天工具。
  • 电子表格（制表符分隔）：粘贴到 Excel、Numbers 或 Google 表格，每个数值占一个单元格。
  • CSV：逗号加小数点，适用于脚本和英文电子表格；分号加小数逗号，适用于德语等欧洲格式设置。
  • JSON 和 XML：供代码、API 和其他工具使用的结构化数据。
  • LaTeX 表格：用于论文和练习题的 tabular 代码块。
  • SVG 图像：矢量格式的图形，适用于 Figma、Inkscape、Illustrator 或网页。
  • PNG 图像：高分辨率图片，适用于幻灯片、聊天和文档。
  • 含图形的报告：图片、数值和计算过程合成一个带格式的块，适用于 Word、Outlook、OneNote 或 Google 文档。
  • TikZ 绘图：带角弧和标签的 LaTeX 代码。
  • GeoGebra 命令：在 GeoGebra 中重建三角形，继续探索。
  • DXF 图纸：按实际比例绘制的三角形，适用于 CAD 软件。

数字按"小数位"设置输出，预览会准确显示将要复制的内容。图像提供浅色和深色两种配色。您的选择会被记住。

可以下载文件、打印或分享链接吗？

可以。"复制"按钮旁边有适用于每种格式的"下载文件"按钮；在"分享与打印"中，您可以复制当前三角形的链接、通过手机的分享菜单发送，或打印包含图形、数值和计算过程的单页摘要。在打印对话框中选择"另存为 PDF"即可得到 PDF。

如果计算器显示在其他页面内（例如嵌入或预览），这些按钮会被隐藏，因为那里禁止下载和打印。复制功能在任何地方都可用。

如何切换语言？

如果您的浏览器语言属于支持的十种语言之一，Triangle Calculator 会以该语言打开，否则使用英语。可通过顶部栏的语言菜单切换，您的选择会保存在此设备上。数字格式随语言变化，例如德语为 4,5，中文和英语为 4.5。

我的三角形会被保存吗？

您最后使用的三角形和设置会保存在此设备的这个浏览器中，下次回来时仍然在。计算器不会把您的三角形发送到任何地方。"重置三角形"（在数值上方的设置栏中）会恢复最初的 3-4-5 直角三角形。

页面地址中也包含三角形，因此书签或分享的链接会准确地重新打开它。